两个矩阵相乘的秩与原矩阵秩的关系 (两个矩阵相乘怎么算)

矩阵是线性代数中的基本概念之一，而矩阵相乘是在矩阵运算中非常重要的一个操作。在讨论两个矩阵相乘的秩与原矩阵秩的关系之前，我们首先来了解一下矩阵相乘的具体计算方法。

设有两个矩阵A和B，它们分别是m×n和n×p的矩阵。要求这两个矩阵的乘积AB，首先需要确保第一个矩阵A的列数等于第二个矩阵B的行数，也就是矩阵A的列数n等于矩阵B的行数n。如果这个条件不满足，那么这两个矩阵是不能相乘的。

矩阵相乘的计算方法是：AB的第(i, j)个元素等于矩阵A第i行与矩阵B第j列对应元素相乘后的和。具体公式如下：

AB的第(i, j)个元素 = Σ (A的第i行元素 * B的第j列元素)，其中Σ表示求和。

有了矩阵相乘的计算方法，我们可以接着来讨论两个矩阵相乘的秩与原矩阵秩的关系了。

对于两个矩阵A和B相乘得到的矩阵AB，其秩最大不会超过原矩阵A和B中秩较小的那个。设矩阵A的秩为r1，矩阵B的秩为r2，那么AB的秩r满足 r ≤ min(r1, r2)。

这个结论可以通过矩阵秩的定义和矩阵相乘的性质来推导。矩阵秩的定义是矩阵中最大线性无关行（或列）的个数。而对于一个矩阵A与另一个矩阵B相乘所得到的矩阵AB，它的行空间（或列空间）不会超过矩阵A和B的行空间（或列空间），因为矩阵相乘实际上是将矩阵B的列向量线性组合后得到的。

因此，矩阵AB的秩r满足 r ≤ min(r1, r2)。要注意的是，当r1和r2中有一个是零秩矩阵时，矩阵秩之间的关系并不一定成立，因为零秩矩阵的性质特殊。

两个矩阵相乘得到的新矩阵的秩不会超过原始矩阵中秩较小的那个，这是矩阵相乘秩的一个重要性质，对于理解矩阵运算和矩阵性质有着重要的指导作用。

---

两个矩阵相乘的秩等于两个矩阵最小的秩吗

已知一个矩阵线性无关，他和另一个矩阵的乘积的秩一定等于另一个矩阵的秩吗

正确。 线性无关的矩阵满秩，满秩矩阵乘以r秩矩阵等于r秩矩阵。 线代书上有相关证明，网上也查的到。

两个矩阵相乘怎么算？

矩阵相乘需要前面矩阵的行数与后面矩阵的列数相同方可相乘。第一步，先将前面矩阵的每一行分别与后面矩阵的列相乘，作为结果矩阵的行列；第二步算出结果即可。

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义 。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。矩阵相乘需要前面矩阵的行数与后面矩阵的列数相同方可相乘。第一步，先将前面矩阵的每一行分别与后面矩阵的列相乘，作为结果矩阵的行列；第二步算出结果即可。

注意事项：

1、当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A与B可以相乘。

2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。

3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

乘法结合律： (AB)C=A(BC)

乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC

乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB

对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）

矩阵乘法在以下两种情况下满足交换律。

AA*=A*A，A和伴随矩阵相乘满足交换律。

AE=EA，A和单位矩阵或数量矩阵满足交换律。

还有其他一些特殊的“乘积”形式被定义在矩阵上，值得注意的是，当提及“矩阵相乘”或者“矩阵乘法”的时候，并不是指代这些特殊的乘积形式，而是定义中所描述的矩阵乘法。在描述这些特殊乘积时，使用这些运算的专用名称和符号来避免表述歧义。

若对本页面资源感兴趣，请点击下方或右方图片，注册登录后

搜索本页相关的【资源名】【软件名】【功能词】或有关的关键词，即可找到您想要的资源

如有其他疑问，请咨询右下角【在线客服】，谢谢支持！