可达矩阵怎么求 (可达矩阵怎么变缩减矩阵) (可达矩阵怎么求)

可达矩阵是图论中的一个重要概念，用于描述有向图中各个顶点之间的可达性关系。在研究网络、路径规划、社交网络等领域时，可达矩阵的求解是一项基础工作。本文将深入探讨可达矩阵的概念、性质，以及如何求解可达矩阵，同时分析可达矩阵如何变缩减矩阵。

可达矩阵的定义与性质

可达矩阵通常用一个n x n的矩阵表示，其中n为有向图的顶点数量。设有向图的邻接矩阵为A，其中A[i][j]=1表示从顶点i到j存在一条有向边，A[i][j]=0表示不存在。如果存在一条从顶点i到j的路径（包括i=j的情况），那么可达矩阵的元素R[i][j]为1，否则为0。

根据可达矩阵的定义，我们可以得出以下性质：

1. 可达矩阵是一个对称矩阵，即R[i][j]=1当且仅当R[j][i]=1。
2. 可达矩阵的幂运算具有传递性，即R的k次幂R^k表示从顶点i到j的长度为k的路径存在。
3. 如果有向图是一个有向无环图（DAG），那么可达矩阵是一个上三角矩阵。

如何求解可达矩阵

求解可达矩阵的方法主要有两种：基于邻接矩阵的迭代法和基于邻接矩阵的布尔矩阵乘法。

迭代法

迭代法是一种直观且容易理解的方法，通过多次迭代邻接矩阵来更新可达矩阵。具体步骤如下：

1. 初始化可达矩阵为邻接矩阵A。
2. 重复以下步骤直到可达矩阵不再改变：
   • 计算可达矩阵的下一次迭代R_new = R_old | (R_old * A)，其中|表示逻辑或，*表示布尔矩阵乘法。
   • 更新可达矩阵R_old = R_new。

布尔矩阵乘法

布尔矩阵乘法是一种更高效的方法，利用矩阵乘法的性质来求解可达矩阵。具体步骤如下：

1. 初始化可达矩阵为邻接矩阵A。
2. 进行布尔矩阵乘法R = A | (A * A) | (A * A * A) | ...，直到可达矩阵不再改变。

布尔矩阵乘法的优势在于可以通过矩阵乘法的并行计算来提高效率，尤其是对于大型图来说。

可达矩阵的变缩减矩阵

可达矩阵可以用于生成变缩减矩阵，用于求解有向图中的强连通分量（SCC）。强连通分量指的是有向图中的一个最大子图，其中任意两个顶点都是相互可达的。

变缩减矩阵的计算方法如下：

1. 先求解原图的可达矩阵R。
2. 将可达矩阵R进行转置，得到R^T。
3. 对R^T进行布尔矩阵乘法，得到R^T | (R^T * R^T) | (R^T * R^T * R^T) | ...，直到不再改变。

变缩减矩阵的性质是对角线上的元素为1，表示强连通分量的标识，不同的强连通分量有不同的标识。通过对变缩减矩阵的分析，可以得到原图中的强连通分量，并对图进行进一步的研究和分析。

可达矩阵在图论中具有重要的应用价值，通过求解可达矩阵和变缩减矩阵，可以为研究者提供丰富的数据分析工具，帮助理解和探索有向图中的复杂关系。

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的可达矩阵怎么运算，有没有直接计算的

编程思路： 假设邻接矩阵A,I链路度矩阵经n步达矩阵M 则： B=(A+I)^n=I+A+A^贰+..A^n 再B非零元素改依零元素变即An步达矩阵M； 代码： function M=reach(A,I,n) %A,In要给定 [row,cow]=size(A) %处rowcow应该相等 E=ones(row,cow) %单位矩阵E B=zeros(row,cow) %初始全0矩阵B B=B+I; %循环+A^n for i=依:n B=B+A^i; end %B非零元素改依零元素变,即让BE进行交运算 M=B&E; en

使用解释结构模型的可达矩阵求解方法【（M +I）i≠（M +I）i+1＝（M +I）i+2＝N，则N就是可达矩阵。】

可达矩阵是用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间经过一定长度的通路后可达到的程度。 在实际系统建模工程中，有向图D={S,R}中，对于Si,Sj 属于S，如果从Si到Sj有任何一条通路存在，则可称Si可达Sj。 利用布尔矩阵的运算性质给出了计算有向图可达矩阵的方法,该方法计算简便.求解方法：如果一个矩阵，仅其对角线元素为1，其他元素均为0，这样的矩阵称为单位矩阵，用I表示。

如何用matlab求下面邻接矩阵的可达矩阵

楼上那个算法缺了一步，应该是n=size(A,1);p=A;for i=2:np=p+A^i;endx=eye(n,n);p=p+x;p(p~=0)=1因为可达矩阵是I+A+A^2+A^3+……

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